Контрольная работа: Исследование зависимости между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки

Контрольная работа: Исследование зависимости между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г.ШУХОВА

Кафедра Экономики и Организации производства

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Студентка: гр.ЭКд-21В

Н.В. Гребенникова

Руководитель: к.т.н., доц.

О.В.Доможирова

Белгород 2009

ЧАСТЬ 1

Постановка задачи

Для производства двух видов продукции А и Б используются три типа ресурсов. Нормы затрат ресурсов на производство единицы продукции каждого вида, цена единицы продукции каждого вида, а также запасы ресурсов, которые могут быть использованы предприятием, приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Требуется:

I.  Cформулировать экономико-математическую модель задачи в виде ОЗЛП.

II.        Привести ОЗЛП к канонической форме.

III.       Сформулировать экономико-математическую модель задачи двойственной к исходной.

IV.      Построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом.

V.        Решить задачу с помощью симплекс-таблиц.

Решение:

I. Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом

а) целевая функция

б) ограничения:

в) условия неотрицательности переменных х1≥0 ; х2≥0.

II. Приведем ОЗЛП к канонической форме. Для этого введем дополнительные переменные x3, x4 и x5.

а) целевая функция

б) ограничения:

в) условия неотрицательности переменных

III. Сформулируем экономико-математическую модель задачи двойственную к исходной. Матрица В условий прямой задачи и матрица В транспонированная матрица В – имеют следующий вид:

В двойственной задаче нужно найти минимум функции

Z = 24y1 + 24y2 +16y3, при ограничениях

Систему ограничений-неравенств двойственной задачи обратим в систему уравнений:

Компоненты у1, у2, у3 оптимального решения двойственной задачи оценивают добавочные переменные х3, х4, х5 прямой задачи.

1) х1+7х2≥24                          (0;3,43)      (24;0)

2) 2х1+2х2≥24              (0;12)                   (12;0)

3) 9х1+2х2≥16              (0:8)           (1,78;0)

Однако нам необходимо найти такую точку, в которой достигался бы max целевой функции.

Оптимальную производственную программу можно найти двумя способами:

1)         путем перебора его вершин

Находим координаты вершин многоугольника ABCDE и подставляя в целевую функцию находим ее значение.

А: А (0; 0)  Z(A) =3×0+9×0=0

В: В (0; 3,43)       Z(B) = 3×0+9×3,43=30,87

D: D (1,78; 0)      Z(B) = 3×1,78+9×8=5,38

С: – это пересечение первого и второго уравнений

;;216 -63x2+2x2=16; x2=1,04.

С (1,04; 3,28)      Z(C) = 3×1,04+9×3,28=32,64

Находим max значение целевой функции. Оно находится в точке

С (1,04; 3,28). Таким образом max прибыль составит 32,68у.д.е. при выпуске продукта Р в количестве 1,04 у.е. и R – 3,28 у.е.

2)         геометрическим способом

Целевая функция геометрически изображается с помощью прямой уровня, т.е. прямой на которой Z=3X1+9X2 – принимает постоянное значение.

Если С – произвольная const, то уравнение прямой имеет вид

3X1+9X2=С

При изменении const С получаем различные прямые, параллельные друг другу. При увеличении С прямая уровня перемещается в направлении наискорейшего возрастания функции Z, т.е. в направлении ее градиента. Вектор градиента

Точкой min Z будет точка первого касания линии уровня с допустимым многоугольником. Точкой max точка отрыва линии уровня от допустимого многоугольника. Эти точки чаще всего совпадают с некоторыми вершинами допустимого многоугольника, хотя их может быть и бесчисленное множество, если линия уровня Z параллельна одной из сторон допустимого многоугольника. Это точка С (1,04; 3,28) Z=32,68 у.д.е.

Решим задачу с помощью симплекс-таблиц.

Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции P и R.

1.         Построим оптимизационную модель:

F(X)=3X1+9X2→max            

2.         Преобразуем задачу в приведенную каноническую форму. Для этого введем дополнительные переменные X3, X4 и X5.

F(X)=3X1+9X2→max            

Построим исходную симплекс-таблицу и найдем начальное базисное решение.

Базисное решение (0; 0; 24;24; 16). F=0.

Находим генеральный столбец и генеральную строку

. Генеральный элемент 7

Базисное решение (0; 8; 4; 0; 10). F=40.

2,22222. Генеральный элемент 1,8.

Базисное решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74). F=46,65.

Эта таблица является последней, по ней читаем ответ задачи. Оптимальным будет решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74), при котором Fmax =46,65, т.е. для получения наибольшей прибыли, равной 46,65 денежных единиц, предприятие должно выпустить 2,22 единиц продукции вида P и 7,56 единиц продукции вида R, при этом ресурсы A и B будут использованы полностью, а 2,74 единиц ресурса С останутся неизрасходованными.

ЧАСТЬ 2

Постановка задачи

Исследовать зависимость между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки. Для построения модели собраны данные по исследуемым переменным на 12-ти предприятиях объединения.

Предполагая, что зависимость между переменными имеет линейный характер, анализ провести в следующей последовательности:

а) построить уравнение регрессии ;

б) построить уравнение регрессии ;

в) исследовать модели ,  и сделать соответствующие выводы;

г) построить уравнение регрессии  и выполнить исследование множественной модели в полном объеме (см.п.3.2).

Решение:

А). Строим уравнение регрессии ;

1. Экономическая теория и расположение точек на диаграмме рассеяния (Приложение 2) позволяют предположить линейную связь между переменными

СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Диаграмма рассеяния, отражающая зависимость производства от капиталовложений.

По формулам (3.34) и (3.35) или (3.36) вычислим оценки параметров функции регрессии  и .

          (3.34)

                (3.35)

Для упрощение расчетов и их наглядности составляют рабочую таблицу, которая содержит все исходные данные и промежуточные результаты, необходимые для вычисления оценок параметров (см. прил 1). В таблице приведены значения , которые не нужны непосредственно для вычисления  и , но потребуются нам в дальнейшем.

Итак, по формулам(3.34) и (3.36) вычисляем  и :

622

Оцениваемое соотношение можно записать в виде

Оцениваемое соотношение можно записать в виде

Подставляя в полученное уравнение значения  из таблицы в приложении 1, вычислим значения регрессии . Совокупность этих значений называемых также предсказанными, образуют прямую регрессии (см. прил 2) отражающую зависимость объёма производств от капиталовложений, при условии, что остальные неучтенные факторы и случайности не оказывают влияния на производительность труда.

СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Диаграмма рассеяния, отражающая зависимость производства от среднего процента выполнения норм..

По формулам (3.34) и (3.35) или (3.36) вычислим оценки параметров функции регрессии  и .

Оцениваемое соотношение можно записать в виде

Подставляя в полученное уравнение значения  из таблицы в приложении 1, вычислим значения регрессии . Совокупность этих значений называемых также предсказанными, образуют прямую регрессии (см. прил 3) отражающую зависимость объёма производств от среднего процента выполнения норм, при условии, что остальные неучтенные факторы и случайности не оказывают влияния на производительность труда.

В) Исследование регрессивной модели. ,

1.

Коэффициент регрессии b11 показывает, что объём производства в среднем возрастает на 2,1622*10000 = 21622 руб, если капиталовложения увеличатся на 1000 рублей.

После определения значений  можно вычислить остатки . и их квадраты, которые будут характеризовать точность оценки регрессии или степень согласованности расчетных значений и наблюдаемых значений переменной .

Для оценки тесноты связи между исследуемыми явлениями вычислим коэффициент корреляции по формуле (3.15)(необходимые промежуточные результаты заимствуем из табл.приложение1)

 (3.15)

Чем больше , тем теснее связь между изучаемыми количественными признаками.

Получен очень высокий коэффициент корреляции. Это свидетельствует о том, что связь между объёмом производства и уровнем капиталовложения очень тесная, хотя и не функциональная. Очевидно, что к действию объясняющей переменной примешивается влияние побочных факторов. Чем меньше это влияние и ограниченнее воздействие случайностей, тем ближе коэффициент корреляции к ±1. Отсюда видна связь между величиной  и регрессией Функция линейной регрессии отражает линейное соотношение между переменными тем лучше, чем больше коэффициент корреляции приближается к ±1. В этом смысле коэффициент корреляции часто служит критерием при выборе вида регрессии. С его помощью устанавливают, действительно ли переменная  зависит от  и в какой степени.

Содержание этого этапа заключается в статистической проверке значимости (надежности): уравнения регрессии, коэффициентов регрессии и корреляции.

1. Значимость уравнения регрессии определяется возможностью надежно прогнозировать среднее отклика по заданным значениям факторной переменной. Так как  – случайные величины, то полученное уравнение регрессии может существенно отличаться от того «истинного» уравнения, которое соответствует генеральной совокупности.

Для оценки надёжности выборочного уравнения регрессии применяется  - критерий Фишера, рассчитываемый по формуле:

          (3.37)

                           (3.38)

где  – дисперсия результативного признака, обусловленная регрессией, т.е. влиянием на  факторных переменных, включенных в модель;  – дисперсия результативного признака, обусловленная влиянием второстепенных факторов и случайных помех;  – объём выборки;  – количество факторных переменных.

Для оценки надежности выборочного уравнения регрессии воспользуемся формулой (3.37)

По статистическим таблицам распределения Фишера (приложение 4) на -ном уровне значимости при числе степеней свободы  и  находим критическую точку

Так как  делаем вывод о значимости полученного уравнения регрессии.

Для оценки надёжности парного коэффициента корреляции  применим формулу (3.43)

По таблице распределения Стьюдента (приложение 5) на -ном уровне значимости при числе степеней свободы  находим критическую точку

Так как  делаем вывод о значимости  т. е., отклоняем гипотезу  об отсутствии линейной корреляционной связи в генеральной совокупности, рискуя ошибиться при этом лишь в -х случаев.

Вычислим теперь коэффициент детерминации (квадрат смешанной корреляции)  Отсюда заключаем, что в случае простой регрессии  общей дисперсии объём производства на 55,16 % зависит от капиталовложений.

Дальнейшее исследование модели связано с указанием доверительных интервалов для параметров регрессии и генерального коэффициента корреляции. Для уяснения сути этих процедур необходимы предварительные пояснения.

Задача регрессионного анализа состоит в нахождении истинных значений параметров, т.е. в определении соотношения между  и  в генеральной совокупности  

где - генеральные коэффициенты регрессии.

Мы же находим оценки параметров регрессии  наиболее хорошо согласующиеся с опытными данными. Эти реализации  являются